Question

已知定義在R上的二次函數R(x)＝ax²＋bx＋c滿足，且R(x)的最小值為0，函數h(x)＝lnx，又函數f(x)＝h(x)－R(x)．

(Ⅰ)求f(x)的單調區間；

(Ⅱ)當a≤時，若x₀∈[1，3]，求f(x₀)的最小值；

(Ⅲ)若二次函數R(x)圖象過(4，2)點，對于給定的函數f(x)圖象上的點A(x₁，y₁)，當時，探求函數f(x)圖象上是否存在點B(x₂，y₂)(x₂＞2)，使A、B連線平行于x軸，并說明理由．(參考數據：e＝2.71828…)

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ) 　　可得 　　又在x＝0時取得最小值0， 　　 　　令 　　當x變化時，，的變化情況如下表： 　　所以，的單調遞增區間是(0，)，的單調遞減區間是(，＋)　　5分 　　(Ⅱ)≤時，≥1， 　　時，的最小值為與中的較小者　　7分 　　又 　　≤時，的最小值； 　　當時，的最小值　　9分 　　(Ⅲ)證明：若二次函數圖象過(4，2)點，則，所以 　　令 　　由(Ⅰ)知在(0，2)內單調遞增， 　　故　　11分 　　取則 　　所以存在 　　即存在 　　所以函數圖象上存在點B()()，使A、B連線平行于x軸　　14分 　　(說明：的取法不唯一，只要滿足＞2，且即可)