Question

【題目】已知向量，為坐標原點，動點滿足：．

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）已知直線都過點，且，與軌跡分別交于點，試探究是否存在這樣的直線？使得是等腰直角三角形．若存在，指出這樣的直線共有幾組（無需求出直線的方程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】設點，則…… 1分

∵

∴……… ……… ……… 2分

∴點M的軌跡C是以為焦點，長軸長為 4 的橢圓……… …… ……… 4分

∴∴

∴ 動點M的軌跡C的方程為……… ……… ……… 6分

(2)由（1）知，軌跡C是橢圓，點是它的上頂點，

設滿足條件的直線、存在，直線的方程為①

則直線的方程為，② ……… ……… ……… 7分

將①代入橢圓方程并整理得：，可得，則.

將②代入橢圓方程并整理得：，可得，則.

由△BDE是等腰直角三角形得

…………11分

∴或④…………………………………………12分

∵方程④或.

∴即滿足條件的直線、存在，共有3組．

【解析】略