Question

【題目】如圖，已知四棱錐，平面⊥平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，為的中點.

（1）證明：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點，連接，，可得，，根據勾股定理可得，從而可得，再利用線面垂直的判定定理可得平面，即證.

（2）方法1：（體積法），利用求出到平面的距離為，利用線面角的定義即可求解；方法2：（坐標法），以點為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，利用即可求解.

解析：（1）取的中點，連接，.

因為，所以.

另一方面，因為是的中位線，所以.

設，則，，，

所以.

所以，故.

所以平面.

所以.

（2）方法1：（體積法）

因為平面平面于，平面，，

所以平面.

三棱錐的體積為.

取的中點，連接，，所以.

又由平面知，所以平面，故.

因為，，所以，所以.

設到平面的距離為，則由知，解得.

又，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

方法2：（坐標法）

因為平面平面于，

平面，，所以平面.

建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，

，.

所以，.

設平面的一個法向量為，

則，取，則.

又，所以直線與平面所成角的正弦值為

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