【題目】已知直角梯形
的下底與等腰直角三角形
的斜邊重合，
且
（如圖（1）所示），將此圖形沿
折疊成直二面角，連接
，
，得到四棱錐
（如圖（2）所示）.
（1）線段
上是否存在點
，使
平面
？若存在，求出
；若不存在，說明理由；
（2）在（1）的條件下，求平面與平面的夾角的余弦值.
【答案】（1）存在點
，
（2）
【解析】
（1）假設存在滿足題意的點，根據線面平行的性質定理可知
，由平行線分線段成比例可求得，則假設成立；
（2）取
中點
，根據垂直關系，以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用二面角的向量求法可求得結果.
（1）假設在線段
上存在點，使得
平面
，
連接
，交
于點
，連接
，
若平面，平面
平面
，
平面
，
，
.
，
，
，
在線段上存在點，使得平面，此時.
（2）取中點，連接
，
，
，四邊形
為平行四邊形，
，
又
，
.
，為中點，
，
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
平面.
以為坐標原點，可建立如下圖所示的空間直角坐標系
：
為等腰直角三角形，
，
設
，則
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
設平面的一個法向量
，
則
，令
，則
，
，
.
平面，
是平面的一個法向量，
，
即平面與平面的夾角的余弦值為.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于函數
，若函數
是增函數，則稱函數具有性質A．
若
，求
的解析式，并判斷
是否具有性質A；
判斷命題“減函數不具有性質A”是否真命題，并說明理由；
若函數
具有性質A，求實數k的取值范圍，并討論此時函數
在區間
上零點的個數．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】由A,B,C,…等7人擔任班級的7個班委.
(1)若正、副班長兩職只能由A,B,C這三人中選兩人擔任,則有多少種分工方案?
(2)若正、副班長兩職至少要選A,B,C這三人中的1人擔任,有多少種分工方案?
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某熱力公司每年燃料費約24萬元，為了“環評”達標，需要安裝一塊面積為
（
）（單位：平方米）可用15年的太陽能板，其工本費為
（單位：萬元），并與燃料供熱互補工作，從此，公司每年的燃料費為
（
為常數）萬元，記
為該公司安裝太陽能板的費用與15年的燃料費之和.
（1）求的值，并建立關于的函數關系式；
（2）求的最小值，并求出此時所安裝太陽能板的面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學采取分層抽樣的方法從應屆高三學生中按照性別抽取20名學生，其中8名女生中有3名報考理科，男生中有2名報考文科.
（1）根據以上信息，寫出
列聯表；
（2）用假設檢驗的方法分析有多大的把握認為該中學的高三學生選報文理科與性別有關？
參考公式：
p（K2≥k0） | 0．15 | 0．10 | 0．05 | 0．025 | 0．010 | 0．005 | 0．001 |
k0 | 2．07 | 2．71 | 3．84 | 5．02 | 6．64 | 7．88 | 10．83 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學高三年級有400名學生參加月考，用簡單隨機抽樣的方法抽取了一個容量為50的樣本，得到數學成績的頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求第四個小矩形的高；
（2）估計本校在這次統測中數學成績不低于120分的人數；
（3）已知樣本中，成績在
內的有兩名女生，現從成績在這個分數段的學生中隨機選取2人做學習交流，求恰好男生女生各有一名的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，直線y=k（x+1）與C相切于點A，|AF|=2．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設直線l交C于M，N兩點，T是MN的中點，若|MN|=8，求點T到y軸距離的最小值及此時直線l的方程．
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