Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）若函數的圖象在點處的切線與軸垂直，求的極值；

（Ⅱ）討論函數的零點個數．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）極小值為0，無極大值（Ⅱ）當或時，函數在上有一個零點；當或時，函數在上有兩個零點

【解析】

（Ⅰ）根據條件可知，解得，，然后求函數的導數，

根據導數判斷函數的單調性，并求函數的極值；（Ⅱ）分 四種情況討論函數的單調性，和零點存在性定理討論函數的零點個數.

（Ⅰ）由得 ，

所以，所以，

所以.

當時，，函數單調遞減；

當時， ，函數單調遞增，

所以時，函數的極小值為，無極大值

（Ⅱ） .

（i）當時，，函數在上單調遞減.

因為，所以函數在上有一個零點

（ii）當時，

①若 ，則，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數在處取得極小值。

因為，所以

又因為 ，

由，可得 ，

所以函數在上也有一個零點，所以函數在上共有兩個零點

②若 ，由（I）可知，函在上只有一個零

③若，則，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，

所以函數在 處取得極小值.

因為，所以

因為 ，

記，所以 ，

由，可得當時，，所以單調遞增，

所以 ，

所以函數在上存在一個零點，即此時函數在上共有兩個零點

綜上所述，當或時，函數在上有一個零點；當或時，函數在上有兩個零點