Question

【題目】已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點K(－1,0)為直線l與拋物線C準線的交點，直線l與拋物線C相交于A，B兩點．

（1）求拋物線C的方程；

（2）設·＝，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x（2）3x－4y＋3＝0或3x＋4y＋3＝0.

【解析】

（1）由點K（﹣1，0）為直線l與拋物線C準線的交點知－＝－1，從而可求拋物線C的方程；（2）設直線l的方程，聯立直線方程與拋物線方程，根據·＝，結合韋達定理，即可求直線l的方程．

（1）依題意知－＝－1，解得p＝2,所以拋物線C的方程為y2＝4x.

（2）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，且設直線l的方程為x＝my－1(m≠0)．

將x＝my－1代入y2＝4x，并整理，得y2－4my＋4＝0.

由Δ>0，得m2>1.從而y1＋y2＝4m，y1y2＝4.

所以x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2，

x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝m2y1y2－m(y1＋y2)＋1＝1

因為＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，

·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝8－4m2，

故8－4m2＝，解得m＝±滿足m2>1.

所以直線l的方程為x＝±y－1.

即3x－4y＋3＝0或3x＋4y＋3＝0.