Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）令函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)，若函數(shù)有且只有一個零點，判斷與的大小，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2），理由見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出在上有唯一零點，由已知函數(shù)有且只有1個零點，則，得，令，故，求出的范圍即可.

解：（1）由已知，且，

當(dāng)時，恒成立，則在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，令得，，

則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2），則，

則，則在上單調(diào)遞增，

又當(dāng)，

故在上有唯一零點，

當(dāng)，單調(diào)遞減；

，單調(diào)遞增

故為的最小值，

當(dāng)，

由已知函數(shù)有且只有一個零點，則，

故，

則，

則，

得，

令，

故，

則，

故，

故在上遞減，

，

故在上有一個零點，在上無零點，

故.