Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若在上存在極大值，求的取值范圍；

（2）若軸是曲線的一條切線，證明：當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）求得的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分成三種情況，結(jié)合在上存在極大值，求得的取值范圍.

（2）首先根據(jù)軸是曲線的一條切線求得的值，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得在區(qū)間上的最小值為，由此證得，從而證得不等式成立.

（1）解：，令，得，.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，無(wú)極值，不合題意；

當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，在處取得極大值，

則，又，所以；

當(dāng)時(shí)，在處取得極大值，在處取得極小值，

則，又，所以.

綜上，的取值范圍為.

（2）證明：由題意得，或，即（不成立），或，

解得.

設(shè)函數(shù)，，

當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以在處取得極小值，且極小值為.

又，所以當(dāng)時(shí)，，

故當(dāng)時(shí)，.