Question

已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓C的離心率為，且經過點，過點P（2，1）的直線與橢圓C在第一象限相切于點M ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求直線的方程以及點M的坐標；
（3）是否存過點P的直線與橢圓C相交于不同的兩點A、B，滿足？若存在，求出直線l₁的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

，，

解（Ⅰ）設橢圓C的方程為，由題意得
解得，故橢圓C的方程為．……………………4分
（Ⅱ）因為過點P（2，1）的直線l與橢圓在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可調直線l的議程為
由                                         得．①
因為直線與橢圓相切，所以
整理，得                                 解得
所以直線l方程為
將代入①式，可以解得M點橫坐標為1，故切點M坐標為……8分
（Ⅲ）若存在直線l₁滿足條件，的方程為，代入橢圓C的方程得

因為直線l₁與橢圓C相交于不同的兩點A，B，設A，B兩點的坐標分別為
所以
所以．
又，
因為即，
所以．
即
所以，解得 因為A，B為不同的兩點，所以．
于是存在直線₁滿足條件，其方程為………………………………12分