Question

【題目】已知橢圓C：（）的左右焦點分別為，，過焦點的一條直線交橢圓于P，Q兩點，若的周長為，且長軸長與短軸長之比為

（1）求出橢圓的方程；

（2）若，求出弦長的值；

（3）若，求出直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）根據焦點三角形周長、長短軸之比和可構造方程組求得，進而得到橢圓方程；

（2）設，由焦點三角形面積可構造方程求得點坐標，由此得到直線方程，與橢圓方程聯立求得點坐標，由兩點間距離公式求得；

（3）設直線的方程為：，與橢圓方程聯立得到韋達定理的形式；由平面向量線性運算可化簡已知等式為，由此得到，結合韋達定理構造方程求得，進而得到直線方程.

（1）由周長得：，即

由長軸長與短軸長之比為得：

又，可解得：，，

橢圓的方程為

（2）設，則

，又

，即 或

當時，直線方程為，與橢圓方程聯立得：

由橢圓對稱性知，當時，

綜上所述：

（3）設直線的方程為：，，

，即

由得：

則，

即：，解得：

直線的方程為：或

即直線的方程為：或