Question

【題目】平面上的兩個向量，滿足，，且，.向量，且.

（1）如果點為線段的中點，求證: ；

（2）求的最大值，并求此時四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），．

【解析】

試題分析：（1）由因為點為線段的中點，所以，連同已知代入即可證明；（2）設點為線段的中點，則由，知，又由（1）及題設條件得，從而可判斷、、、四點都在以為圓心、為半徑的圓上，已知為圓的直徑，得到，再利用基本不等式，即可求解四邊形面積的最大值.

試題解析：（1）證明：因為點為線段的中點，

所以.

所以.

（2）解：設點為線段的中點，

則由，知.

又由（1）及，得

所以.

故、、、四點都在以為圓心、為半徑的圓上，

所以當且僅當為圓的直徑時，.

這時四邊形為矩形，

則，

當且僅當時，四邊形的面積最大，最大值為.