Question

【題目】已知f（x）=max{x2﹣ax+a，ax﹣a+1}，其中max{x，y}= ． （Ⅰ）若對任意x∈R，恒有f（x）=x2﹣ax+a，求實數a的值；
（Ⅱ）若a＞1，求f（x）的最小值m（a）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由對任意x∈R，恒有f（x）=x2﹣ax+a， ∴對 x∈R時，x2﹣ax+a≥ax﹣a+1恒成立，
即x2﹣2ax+2a﹣1≥0恒成立
∴△=4a2﹣4（2a﹣1）≤0，即（a﹣1）2≤0，
∴a=1，
實數a的值1；
（Ⅱ）若x2﹣2ax+a≥ax﹣a+1，則x2﹣2ax+2a﹣1≥0，即（x﹣1）[x﹣（2a﹣1）]≥0，
∵a＞1，
∴2a﹣1＞1，
∴不等式的解為：x≤1或x≥2a﹣1，
∴f（x）= ，
①當 ≤1，即1＜a≤2 時，f（x）在（﹣∞， ） 遞減，在（ ，+∞）遞增，
∴f（x）的最小值m（a）=f（ ）=﹣ +a，
②當 ＞1，即a＞2 時，f（x）在（﹣∞，1）遞減，在（1，+∞）遞增
∴f（x）的最小值m（a）=f（1）=1，
∴m（a）=
【解析】（Ⅰ）由題意可知：對 x∈R時，x2﹣ax+a≥ax﹣a+1恒成立，整理可知：x2﹣2ax+2a﹣1≥0恒成立根據二次函數性質可知：△＜0，即可求得a的值；（Ⅱ）由當x2﹣2ax+a≥ax﹣a+1，即（x﹣1）[x﹣（2a﹣1）]≥0，由a＞1，則2a﹣1＞1，因此不等式的解為：x≤1或x≥2a﹣1，分類當 ≤1，即1＜a≤2 時及當 ＞1，即a＞2 時，根據函數的單調性即可求得f（x）的最小值m（a）的表達式．
【考點精析】關于本題考查的函數的最值及其幾何意義和二次函數的性質，需要了解利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲担焕�用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（�。┲�；當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能得出正確答案．