Question

【題目】已知函數，，其中．

（Ⅰ）若函數在區間（1，e）存在零點，求實數a的取值范圍；　

（Ⅱ）若對任意的，都有≥成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ），求導可得的單調性，結合零點存在性定理即可求解。

（Ⅱ）任意的，都有≥成立，等價于對任意的都

有≥．分別求出和即可求解。

（Ⅰ）解：，其定義域為，

∵＜0，∴在區間（0，）上單調遞減．

要使函數在區間（1，e）內存在零點，當且僅當

所以實數a的取值范圍為（0，）．　　　

（Ⅱ）解：對任意的都有≥成立等價于對任意的都

有≥．

當 ［1，］時，．∴函數在上是增函數．

∴．

∵，．

∴當時，＜0，當時，＞0，

∴在（0，a）上單調遞減，在（a，）單調遞增．

① 當時，∴函數在［1，］上是增函數，∴．

由≥，得≥，又，∴ ，不合題意．

② 當1≤≤時，∴函數在上是減函數，在上是增函數．

∴．

由≥，得≥，又1≤≤，∴≤≤．

③ 當，∴函數在上是減函數．∴.

由≥，得≥，又，∴．

綜上所述，的取值范圍為．