Question

【題目】已知函數， R.

（1）證明：當時，函數是減函數；

（2）根據的不同取值，討論函數的奇偶性，并說明理由；

（3）當，且時，證明：對任意，存在唯一的R，使得，且.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) 當時，函數是奇函數；當時，函數是偶函數；當且時，函數是非奇非偶函數，（3）見解析

【解析】試題分析：

（1）任取，設，計算可得，據此可得，函數是減函數.

(2)分類討論可得：當時，函數是偶函數，當時函數是奇函數，當且時，函數是非奇非偶函數.

(3)由（1）知，當時函數是減函數，結合函數的單調性分別證明的存在性(利用函數的值域)和唯一性(利用反證法)即可證得題中的結論.

試題解析：

（1）任取，設，則，

∵，所以，又，∴，即，

所以當時，函數是減函數.

(2)當時， ，所以，所以函數是偶函數，

當時， ， ，

所以函數是奇函數，

當且時， ， ，

因為且，

所以函數是非奇非偶函數.

(3)由（1）知，當時函數是減函數，

所以函數在上的值域為，

因為，所以存在，使得.

假設存在使得，

若，則，若，則，

與矛盾，故是唯一的，

假設，即或，則或，

所以，與矛盾，故.