Question

設(shè)

a

，

b

，

c

是任意的非零向量，且相互不共線，有下列命題：
（1）（

a

•

b

）

c

-（

c

•

a

）

b

=0；
（2）|

a

|-|

b

|＜|

a

-

b

|；
（3）（

b

•

c

）

a

-（

a

•

c

）

b

不與

c

垂直；
（4）（3

a

+4

b

）•（3

a

-4

b

）=9|

a

|²-16|

b

|²
其中，是真命題的有（　　）

A、（1）（2）

B、（2）（3）

C、（3）（4）

D、（2）（4）

Answer 1

分析：逐個(gè)驗(yàn)證：（1）中研究向量的數(shù)量積與數(shù)乘運(yùn)算，由運(yùn)算規(guī)則判斷；（2）中研究向量差的模與模的差的關(guān)系，由其幾何意義判斷；（3）中研究向量的垂直關(guān)系，可由數(shù)量積為0驗(yàn)證；（4）中是數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)則考查，由數(shù)量積運(yùn)算規(guī)則判斷．

解答：解：（1）由題意可得（

a

•

b

）

c

表示與向量

c

共線的向量，（

c

•

a

）

b

表示與向量

b

共線的向量，
故（

a

•

b

）

c

-（

c

•

a

）

b

=0，故錯(cuò)誤；
（2）由向量的減法法則知，兩向量差的模一定小兩向量模的差，故正確；
（3）∵[（

b

•

c

）

a

-（

a

•

c

）

b

]•

c

=（

b

•

c

）（

a

•

c

）-（

a

•

c

）（

b

•

c

）=0，
∴（

b

•

c

）

a

-（

a

•

c

）

b

與

c

垂直，故錯(cuò)誤；
（4）由向量的運(yùn)算法則可得（3

a

+4

b

）•（3

a

-4

b

）=9|

a

|²-16|

b

|²，故正確．
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)量積的運(yùn)算，數(shù)乘向量的運(yùn)算，本題的難點(diǎn)是對(duì)數(shù)量積運(yùn)算的理解及相應(yīng)的幾何意義．