Question

（本小題滿分10分）已知數列滿足：，

（1）求證：數列是等比數列；

（2）設，求數列的前項的和．

Answer 1

解：（1）∵ 

∴

即，     ………………………………………………2分

又∵，∴，∴     …………………………………3分

∴    …………………………………………………………4分

∴數列{a_n＋2}是以3為首項，3為公比的等比數列     ………………………5分

（2）由（1）得  a_n＋2＝3×3^n-1＝3ⁿ

∴a_n＝3ⁿ－2

b_n＝n·a_n＝n·3ⁿ－2n  …………………………………………………………6分

∴T_n＝(1×3¹－2×1)＋(2×3²－2×2)＋…＋(n·3ⁿ－2n)

＝1×3¹＋2×3²＋…＋n·3ⁿ－2(1＋2＋…＋n)

＝1×3¹＋2×3²＋…＋n·3ⁿ－2×

＝1×3¹＋2×3²＋…＋n·3ⁿ－n²－n  ……………………………………7分

記S_n＝1×3¹＋2×3²＋…＋n·3ⁿ

則3S_n＝1×3²＋…＋(n－1)·3ⁿ＋n·3^n＋1

∴S_n－3S_n＝(3¹＋3²＋…＋3ⁿ)－n·3^n＋1

＝－n·3^n＋1

＝

∴S_n＝   ……………………………………………………  9分

∴T_n＝－n²－n. ………………………………………………10分