Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，且，.四邊形ABCD滿足，，.E為側(cè)棱PB的中點，F為側(cè)棱PC上的任意一點.

(1)若F為PC的中點，求證:平面PAD；

(2)求證:平面平面PAB；

(3)是否存在點F，使得直線AF與平面PCD垂直?若存在，寫出證明過程并求出線段PF的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)存在，

【解析】

（1）易得，利用線面平行的判定證明；
（2）易得AD⊥平面PAB，利用面面垂直的判定，可得AD平面AFD，所以平面AFD⊥平面PAB；
（3）易得CD⊥平面PAC.只需在棱PC上存在點F使得AF⊥PC即可.

(1)因為E，F分別為側(cè)棱PB，PC的中點，

所以，因為，

所以，而平面PAD，平面PAD，

所以平面PAD；

(2)因為平面平面PAC，平面平面，

且，平面PAC，

所以平面ABCD，又平面ABCD，所以.

又因為，，所以平面PAB，

而平面AFD，所以平面平面PAB；

(3)在棱PC上顯然存在點F使得.

由已知，，，，.

由平面幾何知識可得.

由(2)知，平面ABCD，所以，

因為，所以平面PAC.

而平面PAC，所以.

又因為，所以平面PCD.

在中，，，，

可求得，，.

可見直線與平面PCD能夠垂直，此時線段PF的長為.