Question

【題目】已知函數f（x）= ，x∈R，a∈R．
（1）a=1時，求證：f（x）在區間（﹣∞，0）上為單調增函數；
（2）當方程f（x）=3有解時，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：a=1時，f（x）= ，

x＜0時，f（x）= ，

令x1＜x2＜0，

則f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ，

∵x1＜x2＜0，

∴（1﹣x1）（1﹣x2）＞0，x1﹣x2＜0，

∴f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在區間（﹣∞，0）上為單調增函數

（2）解：由f（x）= =3，

得：ax=3|x|+2，

畫出函數y=ax和y=3|x|+2的圖象，如圖示：

，

結合圖象，a＞3或a＜﹣3．

【解析】（1）求出f（x）的解析式，根據函數單調性的定義證明即可；（2）問題轉化為函數y=ax和y=3|x|+2有交點，從而求出a的范圍即可．
【考點精析】利用函數單調性的判斷方法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．