Question

（1）已知函數f(x)＝e^x－1－tx，?x₀∈R，使f(x₀)≤0，求實數t的取值范圍；
（2）證明：＜ln＜，其中0＜a＜b；
（3）設[x]表示不超過x的最大整數，證明：[ln(1＋n)]≤[1＋＋ ＋]≤1＋[lnn]（n∈N^*）．

Answer 1

（1）.（2）（3）見解析

試題分析：（1）根據題意，其實是求實數t的取值范圍使函數的最小值小于零，結合函數的解析式的特點，應利導數工具，研究函數的單調性和極（最）值問題.（2）要證，即證：，只要證：,因為，所以， ，因此可構造函數，利用導數探究其在符號即可.類似的方法可證明，必要時可借用（1）的結論.
（3）根據的定義，
要證 
只需證：
由（2），若令，則有
當分別取時有：  
上述同向不等式兩邊相加可得：，類似地可證另一部分.
試題解析：（1）若t＜0，令x＝，則f()＝e^－1－1＜0；
若t＝0，f(x)＝e^x－1＞0，不合題意；
若t＞0，只需f(x)_min≤0．
求導數，得f′(x)＝e^x－1－t．
令f′(x)＝0，解得x＝lnt＋1．
當x＜lnt＋1時，f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，lnt＋1)上是減函數；
當x＞lnt＋1時，f′(x)＞0，∴f(x)在(lnt＋1，＋∞)上是增函數．
故f(x)在x＝lnt＋1處取得最小值f(lnt＋1)＝t－t(lnt＋1)＝－tlnt．
∴－tlnt≤0，由t＞0，得lnt≥0，∴t≥1．
綜上可知，實數t的取值范圍為(－∞，0)∪[1，+∞)．          4分
（2）由（1），知f(x)≥f(lnt＋1)，即e^x－1－tx≥－tlnt．
取t＝1，e^x－1－x≥0，即x≤e^x－1．
當x＞0時，lnx≤x－1，當且僅當x＝1時，等號成立，
故當x＞0且x≠1時，有lnx＜x－1．
令x＝，得ln＜－1（0＜a＜b），即ln＜．
令x＝，得ln＜－1（0＜a＜b），即－ln＜，亦即ln＞．
綜上，得＜ln＜．                     9分
（3）由（2），得＜ln＜．
令a＝k，b＝k＋1（k∈N^*），得＜ln＜．
對于ln＜，分別取k＝1，2， ，n，
將上述n個不等式依次相加，得
ln＋ln＋ ＋ln＜1＋＋ ＋，
∴ln(1＋n)＜1＋＋ ＋．     ①
對于＜ln，分別取k＝1，2， ，n－1，
將上述n－1個不等式依次相加，得
＋＋ ＋＜ln＋ln＋ ＋ln，即＋＋ ＋＜lnn（n≥2），
∴1＋＋ ＋≤1＋lnn（n∈N^*）．      ②
綜合①②，得ln(1＋n)＜1＋＋ ＋≤1＋lnn．
易知，當p＜q時，[p]≤[q]，
∴[ln(1＋n)]≤[1＋＋ ＋]≤[1＋lnn]（n∈N^*）．
又∵[1＋lnn]＝1＋[lnn]，
∴[ln(1＋n)]≤[1＋＋ ＋]≤1＋[lnn]（n∈N^*）．           14分