Question

如圖，l₁，l₂是兩條互相垂直的異面直線，點P，C在直線l₁上，點A， B在直線l₂上，M，N分別是線段AB，AP的中點，且PC=AC=a，PA=a，
(Ⅰ)證明：PC⊥平面ABC；
(Ⅱ)設平面MNC與平面PBC所成的角為θ(0°＜θ≤90°)。現給出下列四個條件：①CM=AB；②AB=a；③CM⊥AB；④BC⊥AC。請你從中再選擇兩個條件以確定cosθ的值，并求解．

Answer 1

解：(Ⅰ)在△PAC中，∵PC=AC=a，PA=a， ∴PC2+AC2=PA2，∴PC⊥AC， ∵l1，l2是兩條互相垂直的異面直線，點P，C在直線l1上，點A，B 在直線l2上， ∴PC⊥AB， 又AC∩AB=A， ∴PC⊥平面ABC．
(Ⅱ)方案一：選擇②④可確定cosθ的大小． ∵AC⊥BC，且AB=a，AC=a， ∴BC=a，以C為坐標原點，的方向為 x，y，z軸的正方向建立空直角坐標系C-xyz， 則， 又M，N分別是AB，AP的中點， ∴， ∵CA⊥平面PBC， ∴是平面PBC的一個法向量， 設平面MNC的法向量， 由，得， 取x=1，得為平面MNC的一個法向量， ∴， ∴。