Question

【題目】梯形中，，矩形所在平面與平面垂直，且，.

（1）求證：平面平面；

（2）若P為線段上一點(diǎn)，且異面直線與所成角為45°，求平面與平面所成銳角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由題意證出，先利用面面垂直的性質(zhì)定理，證出平面，再利用面面垂直的判定定理即可證出.

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出平面的法向量，平面的法向量，根據(jù)向量的數(shù)量積即可求解.

（1）證明：作中點(diǎn)M，

由題則有：，且，又

∴四邊形為菱形，，

又且，，

又平面平面，且交于，平面，

平面，

∴平面平面

（2）如圖建系，則有，，

設(shè)，，，，

，，即

設(shè)平面的法向量為，，，

令，則，，

設(shè)平面的法向量為，，，

令，則，，

，