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如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，邊長AB＝a，且PD＝a，PA＝PC＝a．若在這個四棱錐內放一個球，求球的最大半徑．

答案：
解析：

　　解：設放入球的半徑為R，球心為S．當且僅當球與四棱錐的各個面相切時，球的半徑最大．連結SA、SB、SC、SD、SP，則把此四棱錐分成四個三棱錐和一個四棱錐，這些小錐的高均為R，底面為原四棱錐的側面或底面．

　　由體積關系得VP－ABCD＝(S△PAB＋S△PBC＋S△PCD＋S△PDA＋S正方形ABCD)

　　＝a2＋a2＋a2)＝(2＋)a2．

　　又VP－ABCD＝S正方形ABCD·PD＝a3，

　　∴(2＋)a2＝a3，

　　解得R＝(2－)a．

　　故放入球的最大半徑為(2－)a．


提示：

當且僅當球與四棱錐的各個面相切時，放入球的半徑最大．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，且PD=a，PA=PC=
2
a，
（1）求證：PD⊥平面ABCD；（2）求二面角A-PB-D的平面角的大小．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=
90°，側面PAD⊥底面ABCD．若PA=AB=BC=
12
AD．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）側棱PA上是否存在點E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點E的位置并證明，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AD=BC=2，對角線AC⊥BD于O，∠DAO=60°，且PO⊥平面ABCD，直線PA與底面ABCD所成的角為60°，M為PD上的一點．
（Ⅰ）證明：PD⊥AC；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大小．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（1）證明PB⊥平面EFD；
（2）求二面角C-PB-D的大小．
（3）求點A到面EBD的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E，F分別是AB，PB的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：EF⊥CD；
（3）設PD=AD=a，求三棱錐B-EFC的體積．

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同步練習冊答案
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