Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E，F分別是AB，PB的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：EF⊥CD；
（3）設PD=AD=a，求三棱錐B-EFC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意容易證明EF∥AP．由線面平行的判定定理可證
（Ⅱ）由（I）知EF∥AP，要證EF⊥CD，只要證明CD⊥PA．，結合已知，可證CD⊥平面PAD，即可
（Ⅲ）利用等體積，把所求的體積V_B-EFC=V_F-EBC，可求

解答：（Ⅰ）證明：∵E，F分別是AB，PB的中點，
∴EF∥AP．
又∵EF?平面PAD，AP?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．                  （4分）
（Ⅱ）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD⊥CD．
又∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥CD，且AD∩PD=D．
∴CD⊥平面PAD，
又∵PA?平面PAD，
∴CD⊥PA．
又∵EF∥PA，
∴EF⊥CD．    （8分）
（Ⅲ）解：連接AC，DB相交于O，連接OF，則OF⊥面ABCD，
則OF為三棱錐F-EBC的高，OF=

1

2

PD=

1

2

a，S_△EBC=

1

2

EB•BC=

1

2

×

1

2

a×a=

a2

4

∴VB-EFC=VF-EBC=

1

3

S△EBC•OF=

1

3

•

1

2

•a•

a

2

•

a

2

=

1

24

a2．（12分）

點評：本題主要考查了線面平行、線面垂直的判定定理的應用，線面關系與面面關系的相互轉化，利用等體積求解求解三棱錐的體積的綜合應用．