Question

【題目】一張坐標紙上涂著圓E： 及點P（1，0），折疊此紙片，使P與圓周上某點P'重合，每次折疊都會留下折痕，設折痕與直線EP'交于點M ．
（1）求 的軌跡 的方程；
（2）直線 與C的兩個不同交點為A ， B ， 且l與以EP為直徑的圓相切，若 ，求△ABO的面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：折痕為PP′的垂直平分線，則|MP|=|MP′|，由題意知圓E的半徑為2 ，
∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=2 ＞|EP|，
∴E的軌跡是以E、P為焦點的橢圓，且a= ，c=1，
∴b2=a2﹣c2=1， ∴M的軌跡C的方程為
（2）解：l與以EP為直徑的圓x2+y2=1相切，
則O到l即直線AB的距離： =1，即m2=k2+1，
由 ，消去y ， 得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，
∵直線l與橢圓交于兩個不同點，
∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則 ， ，
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2= ，
又 =x1x2+y1y2= ，∴ ，∴ ，

= = ，
設μ=k4+k2 ， 則 ，∴ = ， ，
∵S△AOB關于μ在[ ，2]單調遞增，
∴ ，∴△AOB的面積的取值范圍是[ ， ]
【解析】本題主要考查圓錐曲線的綜合應用和平面向量的數量積的問題。第一小題主要考查圓錐曲線的軌跡方程的問題，根據已知條件中的垂直平分線，根據垂直平分線的特點，可以得到動點到兩定點的和為定值，可以得出軌跡為橢圓，根據橢圓的特點確定a,b,c即可。第二小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用的問題，要求三角形的面積，就要先找到底和高，由已知條件可知，高是確定的1，所以求底也就是要求弦長的問題，也就要聯立直線和橢圓方程，然后利用韋達定理和向量的數量積進行求解弦長AB即可。