Question

橢圓

x2

9

+

y2

5

=1的左、右焦點分別為F₁，F₂，弦AB過F₁，若△ABF₂的內切圓周長為2π，A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），則|y₂-y₁|的值為

3

．

Answer 1

分析：先根據橢圓方程求得a和c，及左右焦點的坐標，進而根據三角形內切圓面積求得內切圓半徑，進而根據△ABF2的面積=△AF1F2的面積+△BF1F2的面積求得△ABF2的面積=3|y2-y1|進而根據內切圓半徑和三角形周長求得其面積，建立等式求得|y2-y1|的值．

解答：解：橢圓：

x2

9

+

y2

5

=1，a=3，b=

5

，∴c=2，左、右焦點F₁（-2，0）、F2（2，0），△ABF2的內切圓周長為2π，則內切圓的半徑為r=1，
而△ABF₂的面積=△AF₁F₂的面積+△BF₁F₂的面積=

1

2

×|y₁|×|F₁F₂|+

1

2

×|y₂|×|F₁F₂|=

1

2

×（|y₁|+|y₂|）×|F₁F₂|=2|y₂-y₁|（A、B在x軸的上下兩側）
又△ABF₂的面積═

1

2

×|r（|AB|+|BF₂|+|F₂A|=

1

2

×1×（2a+2a）=2a=6．
所以 2|y₂-y₁|=6，|y₂-y₁|=3．
故答案為3．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的簡單性質，三角形內切圓性質，本題的關鍵是求出△ABF₂的面積，屬于中檔題．