Question

【題目】若數列{}的前n項和Sn=2-2．

（1）求數列{}的通項公式；

（2）若bn=log，Sn=b1+b2+…+bn，對任意正整數n，Sn+（n+m）＜0恒成立，試求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）= ；（2）

【解析】

（1）運用數列的遞推式和等比數列的定義和通項公式，即可得到所求；

（2）求得bn＝2nlog2n＝﹣n2n，由數列的錯位相減法求和，可得Sn，再由不等式恒成立思想和不等式的性質，即可得到所求的范圍．

（1）由Sn＝2﹣2，得當n≥2時，Sn﹣1＝2﹣2，兩式相減，得＝2﹣2，

∴當n≥2時，＝2，又n＝1時，S1＝a1＝2a1﹣2，a1＝2，

則{}是首項為2，公比為2的等比數列，∴＝2n．

（2）bn＝2nlog2n＝﹣n2n，

∴﹣Sn＝1×2+2×22+3×23+…+n2n，①

∴﹣2Sn＝1×22+2×23+…+（n﹣1）2n+n2n+1，②

①﹣②，得Sn＝2+22+23+…+2n﹣n2n+1＝﹣n2n+1＝2n+1﹣n2n+1﹣2．

由Sn+（n+m）an+1＜0，得2n+1﹣n×2n+1﹣2+n×2n+1+m×2n+1＜0對任意正整數n恒成立，

∴m2n+1＜2﹣2n+1，即m＜﹣1對任意正整數n恒成立．∵﹣1＞﹣1，

∴m≤﹣1，即m的取值范圍是（﹣∞，﹣1]．