【題目】如圖所示，直三棱柱
中， 
， 
， 
，點
， 
分別是
的中點.
（Ⅰ）求證： 
平面
；
（Ⅱ）若二面角
的大小為
，求直線
與平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) 
.
【解析】試題分析：
(Ⅰ)連接
， 
,由中位線的性質可得： 
，利用線面平行的判斷定理即可證得
平面
.
(Ⅱ)結合直三棱柱的性質，分別以
， 
， 
所在直線為
軸， 
軸， 
軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設
，則
， 
， 
，據此可得平面
的一個法向量為
，平面
的一個法向量為
，則
，求解方程可得
，利用線面角的向量求法可得
.
試題解析：
（Ⅰ）連接
， 
,則
且
為
的中點，
又
為
的中點， 
，
又
平面
， 
平面
，故
平面
.
（Ⅱ）因為
是直三棱柱，所以
平面
，得
.因為
， 
，
，故
.以
為原點，分別以
， 
， 
所在直線為
軸， 
軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
設
，則
， 
， 
，
， 
， 
.
取平面
的一個法向量為
，
由
得
：令
，得
，
同理可得平面
的一個法向量為
，
二面角
的大小為
， 
，
解得
，得
，又
，
設直線
與平面
所成角為
，則
.
期末1卷素質教育評估卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
： 
（
）的焦點是橢圓
： 
（
）的右焦點，且兩曲線有公共點
（1）求橢圓
的方程；
（2）橢圓
的左、右頂點分別為
， 
，若過點
且斜率不為零的直線
與橢圓
交于
， 
兩點，已知直線
與
相較于點
，試判斷點
是否在一定直線上？若在，請求出定直線的方程；若不在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】現有
六支足球隊參加單循環比賽（即任意兩支球隊只踢一場比賽），第一周的比賽中
，各踢了
場， 
各踢了
場， 
踢了
場，且
隊與
隊未踢過， 
隊與
隊也未踢過，則在第一周的比賽中， 
隊踢的比賽的場數是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，離心率
，過
且與
軸垂直的直線與橢圓
在第一象限內的交點為
，且
.
(1)求橢圓
的方程；
(2)過點
的直線
交橢圓
于
兩點，當
時，求直線
的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】[選修4-4：坐標系與參數方程]
在平面直角坐標系
中，已知直線
： 
（
為參數），以坐標原點
為極點， 
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線
的直角坐標方程；
（2）設點
的極坐標為
，直線
與曲線
的交點為
， 
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，將一副三角板拼接，使他們有公共邊BC，且使這兩個三角形所在的平面互相垂直，
，
，
，BC=6.
（1）證明：平面ADC平面ADB；
（2）求二面角A—CD—B平面角的正切值.
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