Question

已知函數（且）.

（1）求函數的單調區間；

（2）記函數的圖象為曲線.設點,是曲線上的不同兩點.如果在曲線上存在點，使得：①；②曲線在點處的切線平行于直線，則稱函數存在“中值相依切線”. 試問：函數是否存在“中值相依切線”，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）函數在上單調遞增,在上單調遞減

（2）函數不存在“中值相依切線”

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。利用導數的正負來求解增減區間，并能結合導數的幾何意義能解決切線的相關問題。

解：(Ⅰ)顯然函數的定義域是.                         …………1分

由已知得，.          …………2分

⑴   a>0時, 令,解得; 令,解得.

所以函數在上單調遞增,在上單調遞減.   ……3分

⑵   a<0時，  ①當時，即時, 令,解得或;

令,解得.

所以，函數在和上單調遞增,在上單調遞減; ……4分

②當時，即時, 顯然，函數在上單調遞增； ………5分

③當時，即時, 令,解得或; 令,解得.所以，函數在和上單調遞增,在上單調遞減.

綜上所述，⑴當a>0時,函數在上單調遞增,在上單調遞減；

⑶   a<-1時,函數在和上單調遞增,在上單調遞減；

⑷   a=-1時,函數在上單調遞增；

⑸   -1<a<0時,函數在和上單調遞增,在上單調遞減. …7分

 (Ⅱ)假設函數存在“中值相依切線”.

設,是曲線上的不同兩點，且，

則,=…8分

曲線在點處的切線斜率k=f’(x₀)= -a+a-1……9分

                                                      

 依題意得：

化簡可得： ，    

即.      …………11分

設 (t>1)，上式化為,即.    …12分

令,

因為t>1,顯然，所以在上遞增,顯然有恒成立.

所以在內不存在,使得成立.

 綜上所述，假設不成立.所以，函數不存在“中值相依切線”.