Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，圓與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線,分別與圓交于,兩點(diǎn)．

（Ⅰ）若,，求的面積；

（Ⅱ）若直線過(guò)點(diǎn)，證明：為定值，并求此定值．

Answer 1

【答案】（I）；（II）證明見解析，．

【解析】

試題分析：（I）由題意，得出直線的方程為，直線的方程為，由中位線定理，得，由此可求解的面積；（II）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、韋達(dá)定理，即可化簡(jiǎn)得出為定值；當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線的方程為，代入圓的方程可得：，，即可得到為定值．

試題解析：（Ⅰ）由題知，所以，為圓的直徑，

的方程為，直線的方程為，

所以圓心到直線的距離，

所以，由中位線定理知，，

；

（Ⅱ）設(shè)、，

①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入圓的方程中有：

，整理得：，

則有，，

；

②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，

代入圓的方程可得：，，；

綜合①②可得：為定值，此定值為．