Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥側面BB1C1C，CB⊥C1B，BC=1，CC1=2，A1B1= ，
（1）試在棱CC1（不包含端點C，C1）上確定一點E的位置，使得EA⊥EB1；
（2）在（1）的條件下，求AE和BC1所成角．

Answer 1

【答案】
（1）解：由EA⊥EB1，AB⊥EB1，AB∩AE=A，AB，AE平面ABE，

從而B1E⊥平面ABE且BE平面ABE，故BE⊥B1E．

不妨設 CE=x，則C1E=2﹣x，

∵∠BCC1=60°，∴BE2=1+x2﹣x，

∵∠BCC1=60°，∴∠B1C1C=120°，∴ ．

在Rt△BEB1中有1+x2﹣x+x2﹣5x+7=4，

從而x=1或x=2（當x=2時E與C1重合不滿足題意）．

故E為CC1的中點時，EA⊥EB1

（2）解：取BC中點D，則DE∥BC1，連接AD，

所以∠AED或其補角為異面直線AE和BC1所成角所成的角．

∵ ，

∴cos∠AED= = ，

∴∠AED=60°．

【解析】（1）由EA⊥EB1 ， AB⊥EB1 ， AB∩AE=A，AB，AE平面ABE，從而B1E⊥平面ABE且BE平面ABE，故BE⊥B1E．利用余弦定理及其勾股定理即可得出．（2）取BC中點D，則DE∥BC1 ， 連接AD，所以∠AED或其補角為異面直線AE和BC1所成角所成的角． 利用余弦定理即可得出．
【考點精析】本題主要考查了棱柱的結構特征和異面直線及其所成的角的相關知識點，需要掌握兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形；異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系才能正確解答此題．