Question

【題目】已知，函數(shù)， ．（的圖象連續(xù)不斷）

(1) 求的單調(diào)區(qū)間；

(2) 當(dāng)時(shí)，證明：存在，使；

(3) 若存在屬于區(qū)間的，且，使，證明： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解： ， 令

.

當(dāng)x變化時(shí)， 的變化情況如下表：

所以， 的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是

（Ⅱ）證明：當(dāng)

由（Ⅰ）知在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.令

由于在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增，故取

所以存在即存在

（Ⅲ）證明：由及（Ⅰ）的結(jié)論知，

從而上的最小值為又由，知

故

從而

【解析】試題分析：（1）求的單調(diào)區(qū)間，由于函數(shù)含有對(duì)數(shù)函數(shù)，因此求的單調(diào)區(qū)間，可用導(dǎo)數(shù)法，因此對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得， ，令，解得，列表確定單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：存在，使，可轉(zhuǎn)化為在上有解，可令，有根的存在性定理可知，只要在找到兩個(gè)，是得即可，故本題把代入得，由（1）知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減， ，故，取，則，即可證出；（3）若存在均屬于區(qū)間的，且，使，由（1）知的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，故，且在上的最小值為，而， ，只有，由單調(diào)性可知， ，從而可證得結(jié)論.

試題解析：（1）（1分）

令，解得（2分）

當(dāng)變化時(shí)， 的變化情況如下表：

	＋	0	－
	遞增	極大值	遞減

所以， 的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是（5分）

（2）證明：當(dāng)時(shí)， ，

由（1）知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減．

令． （6分）

由于在內(nèi)單調(diào)遞增，故，即（7分）

取，則.

所以存在，使，

即存在，使． （9分）

（說明： 的取法不唯一，只要滿足，且即可．）

（3）證明：由及（1）的結(jié)論知，

從而在上的最小值為， （10分）

又由， ，知（11分）

故即（13分）

從而（14分）