Question

【題目】已知數列{an}是首項為a1= ，公比q= 的等比數列，設bn+2=3 an（n∈N*），數列{cn}滿足cn=anbn ．
（1）求證：{bn}是等差數列；
（2）求數列{cn}的前n項和Sn；
（3）若cn≤ m2+m﹣1對一切正整數n恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意得，an= = ，

又bn+2=3 an（n∈N*），則bn+2=3 =3n，

所以bn=3n﹣2，即bn+1﹣bn=3，且b1=1，

所以{bn}是為1為首項，3為公差的等差數列

（2）證明：解：由（1）得，an= ，bn=3n﹣2

所以cn=anbn= ，

則Sn= ①，

Sn= ②，

① ﹣②得， Sn=

=

= ，

所以Sn=

（3）證明：由（2）得，cn= ，

cn+1﹣cn= ﹣ = ，

所以當n=1時，c2=c1= ，

當n≥2時，c2=c1＞c3＞c4＞c5＞…＞cn，

則當n=1或2時，cn的最大值是 ，

因為cn≤ m2+m﹣1對一切正整數n恒成立，

所以 ≤ m2+m﹣1，即m2+4m﹣5≥0，解得m≥1或m≤﹣5，

故實數m的取值范圍是m≥1或m≤﹣5

【解析】（1）根據題意和等比數列的通項公式求出an ， 再由對數的運算性質求出bn ， 根據等差數列的定義進行證明；（2）由（1）和題意求出數列{cn}的通項公式，利用錯位相減法能求出數列{cn}的前n項和；（3）先化簡cn+1﹣cn ， 再根據結果的符號與n的關系，判斷出數列{cn}的最大項，將恒成立問題轉化為具體的不等式，再求出實數m的取值范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．