Question

【題目】如圖，△PAD與正方形ABCD共用一邊AD，平面PAD⊥平面ABCD，其中PA=PD，AB=2，點E是棱PA的中點．

（1）求證：PC∥平面BDE；
（2）若直線PA與平面ABCD所成角為60°，求點A到平面BDE的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC，交BD于O，連接EO，則

∵ABCD是正方形，

∴O是AC的中點，

∵點E是棱PA的中點，

∴PC∥OE，

∵OE平面BDE，BD平面BDE，

∴PC∥平面BDE

（2）解：取AD的中點N，連接PN，則

∵PA=PD，

∴PN⊥AD，

∵平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PN⊥平面ABCD，

∴∠PAN為直線PA與平面ABCD所成角∴∠PAN=60°∴PA=PD=AD=2，

∵AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴AB⊥平面PAD，

∴VB﹣DAE= = ，

Rt△EAB中，EA=1，AB=2，BE= ，

∵ ，BD=2 ，

∴DE⊥EB，

∴S△BDE= = ．

設點A到平面BDE的距離為h．則 ，

∴h= ，

∴點A到平面BDE的距離為 ．

【解析】（1）連接AC，交BD于O，連接EO，證明PC∥OE，即可證明PC∥平面BDE；（2）取AD的中點N，連接PN，證明∠PAN為直線PA與平面ABCD所成角，利用等體積方法求點A到平面BDE的距離．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．