Question

已知橢圓C的兩個焦點是)和，并且經過點，拋物線的頂點E在坐標原點，焦點恰好是橢圓C的右頂點F．
（1）求橢圓C和拋物線E的標準方程；
（2）過點F作兩條斜率都存在且互相垂直的直線l₁、l₂，l₁交拋物線E于點A、B，l₂交拋物線E于點G、H，求的最小值．

Answer 1

（1）橢圓C的標準方程為，拋物線E的標準方程為．（2）有最小值為16．

試題分析：（1）由于橢圓上任意一點到焦點的距離都等于,所以，
，由此即得橢圓的標準方程．橢圓右頂點F的坐標為(1，0)，所以拋物線E的標準方程為．（2）設，，，，則 
.再設l₁的方程：，l₂的方程，用韋達定理將上式表示為即可求得其最小值.
試題解析：（1）設橢圓的標準方程為(a>b>0)，焦距為2c，
則由題意得c=，，
∴，
∴橢圓C的標準方程為．         4分
∴右頂點F的坐標為(1，0)．
設拋物線E的標準方程為，∴ ，
∴拋物線E的標準方程為．      6分
（2）設l₁的方程：，l₂的方程，
，，，，
由消去y得：，
∴．
由消去y得：，
∴     9分
∴





．
當且僅當即時，有最小值16．  13分