Question

已知橢圓，直線與相交于、兩點，與軸、軸分別相交于、兩點，為坐標原點.
（1）若直線的方程為，求外接圓的方程；
（2）判斷是否存在直線，使得、是線段的兩個三等分點，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在，且直線的方程為或.

試題分析：（1）先確定三個頂點的坐標，利用其外接圓圓心即為該三角形垂直平分線的交點求出外接圓的圓心，并利用兩點間的距離公式求出外接圓的半徑，從而求出外接圓的方程；（2）將、是線段的兩個三等分點等價轉化為線段的中點與線段的中點重合，且有，借助韋達定理與弦長公式進行求解.
試題解析：（1）因為直線的方程為，
所以軸的交點，與軸的交點.
則線段的中點，，
即外接圓的圓心為，半徑為，
所以外接圓的方程為；
（2）結論：存在直線，使得、是線段的兩個三等分點.
理由如下：
由題意，設直線的方程為，，，
則，，
由方程組得，
所以，（*）
由韋達定理，得，.
由、是線段的兩個三等分點，得線段的中點與線段的中點重合.
所以，
解得.
由、是線段的兩個三等分點，得.
所以，
即，
解得.
驗證知（*）成立.
所以存在直線，使得、是線段的兩個三等分點，此時直線l的方程為，
或.