Question

【題目】2021年我省將實施新高考，新高考“依據統一高考成績、高中學業水平考試成績，參考高中學生綜合素質評價信息”進行人才選拔。我校2018級高一年級一個學習興趣小組進行社會實踐活動，決定對某商場銷售的商品A進行市場銷售量調研，通過對該商品一個階段的調研得知，發現該商品每日的銷售量（單位：百件）與銷售價格（元/件）近似滿足關系式，其中為常數已知銷售價格為3元/件時，每日可售出該商品10百件。

(1)求函數的解析式；

(2)若該商品A的成本為2元/件，根據調研結果請你試確定該商品銷售價格的值，使該商場每日銷售該商品所獲得的利潤（單位：百元）最大。

Answer 1

【答案】（1）；（2）當銷售價格為3元/件時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.

【解析】

（1）由題意將（3，10）代入函數解析式，建立方程，即可求出g（x）的解析式；

（2）商場每日銷售該商品所獲得的利潤＝每日的銷售量×銷售該商品的單利潤，可得日銷售量的利潤函數為關于x的三次多項式函數，再用求導數的方法討論函數的單調性，得出函數的極大值點，從而得出最大值對應的x值．

（1）由題意，102（3-5）2，解得a＝2，故g（x）2（x﹣5）2（2＜x＜5）；

（ 2）商場每日銷售該商品所獲得的利潤為y＝h（x）＝（x﹣2）g（x）＝2+2（x﹣5）2（x﹣2）（2＜x＜5），

y′=4（x-5）(x-2)+ 2（x﹣5）2＝2(3x-9)（x﹣5）．

列表得x，y，y′的變化情況：

x	（2，3）	3	（3，5）
y'	+	0	﹣
y	單調遞增	極大值10	單調遞減

由上表可得，x＝3是函數h（x）在區間（2，5）內的極大值點，也是最大值點，此時y＝10