Question

在平面直角坐標系xOy中，已知對于任意實數k，直線(k＋1)x＋(k－)y－(3k＋)＝0恒過定點F.設橢圓C的中心在原點，一個焦點為F，且橢圓C上的點到F的最大距離為2＋.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(m，n)是橢圓C上的任意一點，圓O：x2＋y2＝r2(r＞0)與橢圓C有4個相異公共點，試分別判斷圓O與直線l1：mx＋ny＝1和l2：mx＋ny＝4的位置關系．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1.（2）直線l1與圓O相交，直線l2與圓O相離．

【解析】(1)由(k＋1)x＋(k－)y－(3k＋)＝0整理

得(x＋y－3)k＋(x－y－)＝0，

解方程組得F(，0)．

設橢圓C的長軸長、短軸長、焦距分別為2a,2b,2c，則由題設知于是a＝2，b＝1. 所以橢圓C的方程為＋y2＝1.

(2)因為圓O：x2＋y2＝r2(r＞0)與橢圓C有4個相異公共點，所以b＜r＜a，即1＜r＜2.

因為點(m，n)是橢圓＋y2＝1上的點，所以＋n2＝1，

且－2≤m≤2.所以∈[1,2]．

于是圓心O到直線l1的距離d1＝≤1＜r，

圓心O到直線l2的距離d2＝≥2＞r.

故直線l1與圓O相交，直線l2與圓O相離