Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的四個頂點為A、B、C、D，若四邊形ABCD的內切圓恰好過橢圓的焦點，則橢圓的離心率等于（　　）

• A．

  2

  2

• B．

  5 +1

  2

• C．

  5 -1

  2

• D．

  3- 5

  2

Answer 1

分析：根據題意，由四邊形ABCD的性質，分析可得其內切圓的半徑的大小，又有其內切圓內切圓恰好過橢圓的焦點，即c=r，結合a²=b²+c²，計算可得答案．

解答：解：根據題意，得四邊形ABCD為平行四邊形，則其內切圓的圓心為坐標原點；
四邊形ABCD的內切圓半徑為Rt△AOB中，斜邊AB上的高，
根據題意，易得，AO=a，OB=b；
則r=

ab

a2+b2

；
根據題意，其內切圓恰好過橢圓的焦點，
即c=r=

ab

a2+b2

；
又由a²=b²+c²；
聯立可得：e=

c

a

=

5 -1

2

；
故選C．

點評：本小題主要考查橢圓的性質、平行四邊形的有關性質、方程式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．