Question

如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b

=1（a＞b＞0）與過點A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點，求證：|AT|2=

1

2

|AF1||AF2|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先寫出過A、B的直線方程，因為由題意得

x2+y2 a2+b2 =1 y=- 1 2 x+1

有惟一解．消去y得：(b2+

1

4

a2)x2-a2x+a2b2=0有惟一解，
利用其根的判別式等于0，即可求得a，b的值，從而得到橢圓方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得c=

6

2

，所以F1(-

6

2

，0)，F2(

6

2

，0)由

x2+y2 a2+b2 =1 y=- 1 2 x+1

解得x₁=x₂=1，接下來利用距離公式求得線段的長，從而證得|AT|2=

1

2

|AF1|•|AF2|．

解答：解：（Ⅰ）過A、B的直線方程為

x

2

+y=1
因為由題意得

x2+y2 a2+b2 =1 y=- 1 2 x+1

有惟一解．
即(b2+

1

4

a2)x2-a2x+a2b2=0有惟一解，
所以△=a²b²（a²+4b²-4）=0（ab≠0），，
故（a²+4b²-4）=0
又因為c=

3

2

，即

a2-b2

a2

=

3

4

，
所以a²=4b²
從而得a2=2，b2=

1

2

，
故所求的橢圓方程為

x2

2

+2y2=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得c=

6

2

，
所以F1(-

6

2

，0)，F2(

6

2

，0)
由

x2+y2 a2+b2 =1 y=- 1 2 x+1

解得x₁=x₂=1，，
因此T=(1，

1

2

)．
從而|AT|2=

5

4

，
因為|AF1|•|AF2|=

5

2

，
所以|AT|2=

1

2

|AF1|•|AF2|

點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、直線方程、橢圓方程等基礎知識，考查運算求解能力、方程思想．屬于中檔題．