Question

【題目】已知兩個定點，， 動點滿足，設動點的軌跡為曲線，直線：.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）若與曲線交于不同的、兩點，且 (為坐標原點)，求直線的斜率；

（3）若，是直線上的動點，過作曲線的兩條切線、，切點為、，探究：直線是否過定點，若存在定點請寫出坐標，若不存在則說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）設點的坐標為，根據列出方程化簡，即可求解軌跡方程；

（2）依題意知，且，則點到邊的距離為1，列出方程，即可求解；

（3）根據題意，，則都在以為直徑的圓上，是直線上的動點，設，聯立兩個圓的方程，即可求解．

（1）由題，設點的坐標為，

因為，即，

整理得，

所以所求曲線的軌跡方程為．

（2）依題意，，且，

由圓的性質，可得點到邊的距離為1，

即點到直線的距離為，解得，

所以所求直線的斜率為．

（3）依題意，，則都在以為直徑的圓上，

是直線上的動點，設，

則圓的圓心為，且經過坐標原點，

即圓的方程為，

又因為在曲線上，

由，可得，

即直線的方程為，

由且，可得，解得，

所以直線過定點．