Question

【題目】某避暑山莊擬對(duì)一個(gè)半徑為1百米的圓形地塊（如圖）進(jìn)行改造，擬在該地塊上修建一個(gè)等腰梯形，其中，，圓心在梯形內(nèi)部，設(shè).當(dāng)該游泳池的面積與周長(zhǎng)之比最大時(shí)為“最佳游泳池”.

（1）求梯形游泳池的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指明定義域；

（2）求當(dāng)該游泳池為“最佳游泳池”時(shí)的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）分別取的中點(diǎn)，連接，易知，，，則，.

（2），梯形的周長(zhǎng)，設(shè)，，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，求其最大值即可.

（1）如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，

由平面幾何得知，，三點(diǎn)共線，且，.

易知，，

且，得

則梯形的面積

（平方百米）， .

（2）易知

由（1）可得梯形的周長(zhǎng)（百米）

設(shè)，

，由得，

當(dāng)時(shí)，y，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，y，單調(diào)遞減

所以當(dāng)，該游泳池的面積與周長(zhǎng)之比最大.

即：時(shí)、該游泳池為“最佳游泳池”.