Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn= （an﹣1），數(shù)列{bn}滿足bn+2=2bn+1﹣bn ， 且b6=a3 ， b60=a5 ， 其中n∈N*． （Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）若cn=（﹣1）nbnbn+1 ， 求數(shù)列{cn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）∵Sn= （an﹣1），∴n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1= （an﹣1）﹣ ，化為：an=3an﹣1 ． n=1時，a1= ，解得a1=3．
∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項與公比都為3．
∴an=3n ．
b6=a3=33=27，b60=a5=35 ．
數(shù)列{bn}滿足bn+2=2bn+1﹣bn ， 即bn+2+bn=2bn+1 ，
∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則b1+5d=27，b1+59d=243．
聯(lián)立解得b1=7，d=4．
∴bn=7+4（n﹣1）=4n+3．
（II）cn=（﹣1）nbnbn+1=（﹣1）n（4n+3）（4n+7）．
c2k﹣1+c2k=﹣（8k﹣1）（8k+3）+（8k+3）（8k+7）=48k+18．
∴n=2k（k∈N*）時，數(shù)列{cn}的前n項和Tn=T2k=（c1+c2）+（c3+c4）+…+（c2k﹣1+c2k）
=48×（1+2…+k）+18k= +18k=24k2+42k=6n2+21n．
n=2k﹣1時，T2k﹣1=T2k﹣2+c2k﹣1=6（n﹣1）2+21（n﹣1）﹣（8k﹣1）（8k+3）=6（n﹣1）2+21（n﹣1）﹣（4n+3）（4n+7）=﹣10n2﹣31n﹣36．
∴Tn= ．
【解析】（I）Sn= （an﹣1），可得n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 化為：an=3an﹣1 ． n=1時，a1= ，解得a1 ． 利用等比數(shù)列的通項公式可得an ． b6=a3=33=27，b60=a5=35 ． 數(shù)列{bn}滿足bn+2=2bn+1﹣bn ， 即bn+2+bn=2bn+1 ， 利用等差數(shù)列通項公式即可得出．（II）cn=（﹣1）nbnbn+1=（﹣1）n（4n+3）（4n+7）．計算c2k﹣1+c2k ， 對n分類討論即可得出．
【考點精析】通過靈活運用數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式，掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式即可以解答此題．