Question

【題目】綜合題。
（1）已知a，b∈（0，+∞），求證：x，y∈R，有 ≥ ；
（2）若0＜a＜2，0＜b＜2，0＜c＜2，求證：（2﹣a）b，（2﹣b）c，（2﹣c）a不能同時大于1．

Answer 1

【答案】
（1）證明：（ ）（a+b）=x2+ +y2≥x2+2xy+y2=（x+y）2，

當且僅當 ，即|bx|=|ay|時取等號，

由于a，b∈（0，+∞），所以有 ≥

（2）證明：假設結論不成立，即（2﹣a）b，（2﹣b）c，（2﹣c）a同時大于1．

，

而（2﹣a）b（2﹣b）c（2﹣c）a=（2﹣a）a（2﹣b）b（2﹣c）c

≤（ ）2（ ）2（ ）2=1，

這與（2﹣a）b（2﹣b）c（2﹣c）a＞1矛盾．

所以假設錯誤，即（2﹣a）b，（2﹣b）c，（2﹣c）a不能同時大于1

【解析】（1）由基本不等式易得答案，注意取等條件|bx|=|ay|；（2）假設（2﹣a）b，（2﹣b）c（2﹣c）a同時大于1，推出（2﹣a）b（2﹣b）c（2﹣c）a＞1 ①；再由已知條件可推出（2﹣a）b（2﹣b）c（2﹣c）a≤1，這與①矛盾，故假設不成立，即可得出結論．
【考點精析】利用反證法與放縮法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知常見不等式的放縮方法：①舍去或加上一些項②將分子或分母放大（縮小)．