Question

已知函數f（x）=2

3

cos²x-2sin²（

π

4

-x）-

3

（1）求f（x）的單調遞增區間；
（2）求函數f（x）在區間[0，

π

6

]上的最大值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,正弦函數的單調性,三角函數的最值

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）化簡可得f（x）=2sin（2x+

π

3

）-1，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

 可求得增區間．
（2）由x∈[0，

π

6

]可得2x+

π

3

∈[

π

3

，

2π

3

]所以得當2x+

π

3

=

π

2

，x=

π

12

時，f（x）的最大值為1．

解答： 解：（1）f（x）=

3

（1+cos2x）-[1-cos（

π

2

-2x）]-

3

 
=

3

cos2x+sin2x-1=2sin（2x+

π

3

）-1，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

   
得：增區間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z 
（2）∵x∈[0，

π

6

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

2π

3

]
所以，當2x+

π

3

=

π

2

，x=

π

12

時，f（x）的最大值為1．

點評：本題主要考察了兩角和與差的正弦函數，正弦函數的單調性，三角函數的最值的求法，屬于基本知識的考查．