Question

已知直線(xiàn)x-2y+4=0經(jīng)過(guò)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓C的右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)AP，BP與直線(xiàn)l：x=5分別交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度的最小值；
（3）當(dāng)線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，Q點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，記△BPQ的面積為S，當(dāng)S在（0，+∞）上變化時(shí)，討論S的大小與Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）由已知得，橢圓C的左頂點(diǎn)為A（-4，0），上頂點(diǎn)為D（0，2），由此能求出橢圓C的方程．
（2）線(xiàn)AP的斜率k顯然存在，且k＞0，故可設(shè)直線(xiàn)AP的方程為y=k（x+4），從而M（5，9k）．由題設(shè)條件可以求出 N(5，-

1

4k

)，求得|MN|，再由均值不等式進(jìn)行求解．
（3）由（2）知，當(dāng)線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度取最小值時(shí)，k=

1

6

，設(shè)與BP平行的直線(xiàn)l'：3x+2y+t=0
聯(lián)立

x2 16 + y2 4 =1 3x+2y+t=0

得10x²+6tx+t²-16=0，利用△=36t²-40（t²-16）=0得t=±4

10

最后即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）由已知得橢圓C的左頂點(diǎn)為A（-4，0），上頂點(diǎn)為D（0，2），
∴a=4，b=2，
故橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

4

=1
（2）直線(xiàn)AP的斜率k顯然存在，且k＞0，故可設(shè)直線(xiàn)AP的方程為y=k（x+4），從而M（5，9k），設(shè)P（x₀，y₀），則kAP•kBP=

y0

x0+4

•

y0

x0-4

=

y02

x02-16

=-

1

4

，∴直線(xiàn)BP的方程為：y=-

1

4k

(x-4)，
得N(5，-

1

4k

)
∴|MN|=|9k+

1

4k

|=9k+

1

4k

≥2

9k• 1 4k

=3
當(dāng)且僅當(dāng)9k=

1

4k

即k=

1

6

時(shí)等號(hào)成立
∴k=

1

6

時(shí)，線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度取最小值3．
（3）由（2）知，當(dāng)線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度取最小值時(shí)，k=

1

6

，此時(shí)直線(xiàn)BP的方程為3x+2y-12=0，P(

16

5

，

6

5

)，|BP|=

2

5

13

設(shè)與BP平行的直線(xiàn)l'：3x+2y+t=0
聯(lián)立

x2 16 + y2 4 =1 3x+2y+t=0

得10x²+6tx+t²-16=0
由△=36t²-40（t²-16）=0得t=±4

10

當(dāng)t=-4

10

時(shí)，BP與l'的距離為

4 10 -12

13

，此時(shí)S_△BPQ=

4

5

(

10

-3)
當(dāng)t=4

10

時(shí)，BP與l'的距離為

4 10 +12

13

，此時(shí)S_△BPQ=

4

5

(

10

+3)
∴當(dāng)0＜s＜

4

5

(

10

-3)時(shí)，這樣的Q點(diǎn)有4個(gè)
當(dāng)S=

4

5

(

10

-3)時(shí)，這樣的Q點(diǎn)有3個(gè)
當(dāng)

4

5

(

10

-3)＜s＜

4

5

(

10

+3)時(shí)，這樣的Q點(diǎn)有2個(gè)
當(dāng)S=

4

5

(

10

+3)時(shí)，這樣的Q點(diǎn)有1個(gè)
當(dāng)S＞

4

5

(

10

+3)時(shí)，這樣的Q點(diǎn)不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系，（3）解答關(guān)系是利用方程的思想轉(zhuǎn)化成根的判別等于0的問(wèn)題，另外解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．