Question

如圖，矩形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M為CE的中點(diǎn)． 
（Ⅰ）求證：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面BEC；
（Ⅲ）若DE=3，求平面BEC與平面DEC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）取DE中點(diǎn)N，連結(jié)MN，AN，利用三角形中位線的性質(zhì)，證明線線平行，從而可得四邊形ABMN為平行四邊形，進(jìn)而可證明BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）證明ED⊥BC，BC⊥BD，可得BC⊥平面BDE，從而可得平面BDE⊥平面BEC；
（Ⅲ）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面BEC與平面DEC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面BEC與平面DEC所成銳二面角的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：取DE中點(diǎn)N，連結(jié)MN，AN．
在△EDC中，M，N分別為EC，ED的中點(diǎn)，
所以MN∥CD，且MN=

1

2

CD．
由已知AB∥CD，AB=

1

2

CD，
所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四邊形ABMN為平行四邊形．              …（2分）
所以BM∥AN．
又因?yàn)锳N?平面ADEF，且BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF．        …（4分）
（Ⅱ）證明：在矩形ADEF中，ED⊥AD．
又因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，
且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD．
所以ED⊥BC．                …（5分）
在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2

2

．
在△BCD中，BD=BC=2

2

，CD=4，
因?yàn)锽D²+BC²=CD²，所以BC⊥BD．
因?yàn)锽D∩DE=D，所以BC⊥平面BDE．…（7分）
又因?yàn)锽C?平面BCE，
所以平面BDE⊥平面BEC．…（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知ED⊥平面ABCD，且AD⊥CD．
以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，3）．     …（9分）
易知平面DEC的一個(gè)法向量為

m

=（1，0，0）．…（10分）
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面BEC的一個(gè)法向量，
因?yàn)?span id="fnzl5fx" class="MathJye">

BC

=（-2，2，0），

CE

=（0，-4，3）
所以

-2x+2y=0 -4y+3z=0

令x=1，得y=1，z=

4

3

．
所以

n

=（1，1，

4

3

）為平面BEC的一個(gè)法向量．   …（12分）
設(shè)平面BEC與平面DEC所成銳二面角為θ．
則cosθ=

| m • n |

| m || n |

=

3

34

34

．
所以平面BEC與平面DEC所成銳二面角的余弦值為

3

34

34

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，面面垂直，面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．