Question

如圖，矩形 ADEF與梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M為CE的中點．    
（Ⅰ）求證：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面BDE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取DE中點N，連結MN，AN，證明四邊形ABMN為平行四邊形，從而可證BM∥平面ADEF；
（II）先證明ED⊥平面ABCD，可得ED⊥BC，再利用勾股定理，證明BC⊥BD，利用線面垂直的判定定理，證明BC⊥平面BDE．

解答：證明：（Ⅰ）取DE中點N，連結MN，AN．
在△EDC中，M，N分別為EC，ED的中點，…（2分）
所以MN∥CD，且MN=

1

2

CD．
由已知AB∥CD，AB=

1

2

CD，
所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四邊形ABMN為平行四邊形．                 …（4分）
所以BM∥AN．
又因為AN?平面ADEF，且BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF．        …（6分）
（Ⅱ）在矩形ADEF中，ED⊥AD．
又因為平面ADEF⊥平面ABCD，
且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD．
所以ED⊥BC．                …（9分）
在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2

2

．
在△BCD中，BD=BC=2

2

，CD=4，
因為BD²+BC²=CD²，所以BC⊥BD．
因為BD∩DE=D，所以BC⊥平面BDE．…（13分）

點評：本題考查線面平行，考查線面垂直，考查學生分析解決問題的能力，正確運用線面平行、垂直的判定定理是關鍵．