Question

已知一組曲線y=

1

3

ax³+bx+1，其中a為2，4，6，8中的任意一個，b為1，3，5，7中的任意一個．現從這些曲線中任取兩條，它們在x=1處的切線相互平行的組數為（　　）

• A、9
• B、10
• C、12
• D、14

Answer 1

分析：求出原函數的導函數，得到在x=1處的導數，然后利用組合知識求得答案

解答：解：由y=

1

3

ax³+bx+1，得y′=ax²+b．
∴y′|_x=1=a+b．
從這些曲線中任取兩條，它們在x=1處的切線相互平行，是指a從2，4，6，8中的任意一個數，b從1，3，5，7中的任意一個數，滿足a+b相等．
這樣的數對（a，b）共有：
（2，7）（4，5）；（2，7）（6，3）；（2，7）（8，1）；（2，5）（4，3）；（2，5）（6，1）；（2，3）（4，1）；（4，7）（6，5）；（4，7）（8，3）；（4，5）（6，3）；（4，5）（8，1）；（4，3）（6，1）；（6，3）（8，1）；（6，7）（8，5）；（8，3）（6，5）14組．
故選：D．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點處的切線方程，考查了列舉法解決組合問題，關鍵是列舉時做到不重不漏，是中檔題．