Question

已知一組曲線y=

1

3

ax3+bx+1，其中a為2，4，6，8中任取的一個數，b為1，3，5，7中任取的一個數，從這些曲線中任意抽取兩條，它們在與直線x=1交點處的切線相互平行的概率是（　�。�

• A．

  1

  12

• B．

  7

  60

• C．

  6

  25

• D．

  5

  16

Answer 1

分析：由題意知，所有拋物線條數是4×4=16條，從16條中任取兩條的方法數是C₁₆²=120，其中與直線x=1交點處的切線的斜率為k=a+b，由與切線相互平行，可得斜率相等，討論a+b的取值，從而可求

解答：解：a為2，4，6，8中任取一數，b為1，3，5，7中任取一數的曲線y=

1

3

ax3+bx+1，共16條，從這些曲線中任意抽取兩條共C₁₆²種
∵y=

1

3

ax3+bx+1，
∴y′=ax²+b，
∴在與直線x=1交點處的切線的斜率為k=a+b因為切線相互平行，所以斜率相等，即a+b相等，
當a+b=5時，共（2，3），（4，1）兩組，
當a+b=7時，共（2，5），（4，3），（6，1）三組，
當a+b=9時，共（2，7），（4，5），（6，3），（8，1）四組，
所以切線平行的曲線共C₂²+C₃²+C₄²，所以其概率為

C 2 2 + C 2 3 + C 2 4

C 2 16

=

1

12

故選A

點評：本題主要考查了由導數的幾何意義求解曲線的切線的斜率，兩直線平行的條件的應用及古典概型兩種概率問題．