Question

已知定義域為R的函數f(x)=

1

2x+1

-

1

2

．
（1）判斷其奇偶性并證明；
（2）判斷函數f（x）在R上的單調性，不用證明；
（3）是否存在實數k，對于任意t∈[1，2]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立．若存在，求出實數k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用f（-x）=-f（x）即可作出判斷；
（2）由（1）可知f（x）是奇函數，當x＞0且x→+∞，f（x）越來越→-

1

2

，可判斷為減函數；
（3）根據題意可將對于任意t∈[1，2]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立轉化為“對任意t∈[1，2]k＞3t²-2t恒成立”．再構造函數g（t）=3t²-2t，利用g（t）在[1，2]上是增函數即可求得k的范圍．

解答：解：（1）f（x）是奇函數．
證明：∵f(-x)=

1

2-x+1

-

1

2

=

2x

2x+1

-

1

2

=1-

1

2x+1

-

1

2

=

1

2

-

1

2x+1

=-(

1

2x+1

-

1

2

)=-f(x)
∴f（x）是R上的奇函數．（3分）
（2）由（1）可知f（x）是奇函數，
當x=0時，f（x）=0，
當x＞0且x越來越大，f（x）越來越小，x→+∞，f（x）越來越來→-

1

2

，
∴f（x）是R上的減函數．（6分）
（3）∵f（x）是R上的奇函數，
∴f（t²-2t）＞-f（2t²-k）=f（k-2t²）（9分）
又f（x）是R上的減函數
∴t²-2t＜k-2t²
即問題等價于對任意t∈[1，2]，k＞3t²-2t恒成立（12分）
令g（t）=3t²-2t，
則g（t）在[1，2]上是增函數，
∴g（t）_max=g（2）=12-4=8（13分）
∴k＞8．

點評：本題考查函數奇偶性與單調性的綜合，著重考查函數奇偶性與單調性的應用，突出考查閉區間上的函數恒成立問題，屬于中檔題．